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    拉格朗日点

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    1.什么是拉格朗日点

    2.拉格朗日点有什么用

    3.推导拉格朗日点

    4.总结

     

    正文

    1,什么是拉格朗日点

    拉格朗日点最早由瑞士数学家欧拉于1767推导出其中三个,法国数学家拉格朗日于1772推导出剩下两个。

    拉格朗日点是限制性三体问题的五个特解

    (注:三体问题指三个质量,运动轨迹,初始位置任意的三个可视为质点的天体,在引力相互作用的情况下的运动状态)使得小天体在两个大天体的作用下,与两天体位置保持相对静止。

     

    拉格朗日点

    (本图取自百度百科)

    目前已知的拉格朗日点如图,图中以地日与卫星为例,地日也可能换成任意质量,任意轨迹的行星,其二者间的拉格朗日点按比例来看,将仍为如图五点,不过目前已知的五点中,只有L4与L5具有稳定,能在外来引力的干预下维持自身位置不变,其与另外两天体连线构成等边三角形。

     

     

    2.拉格朗日点有什么用

    拉格朗日点使得小天体与大天体间相对静止,其运动轨迹也保持稳定,因此对于人造卫星,如太空观测站,空间站等有着巨大意义,空间站可以在相对静止的情况下进行天文观测,其次L4与L5二点时,天体的轨道具有稳定性,不过以上皆为理想情况,现实的宇宙环境中很难排除其它的干扰。

    2022年1月24日詹姆斯·韦伯空间望远镜顺利进入围绕日地系统第二拉格朗日点的运行轨道,作为哈雷西博望远镜的“继任者”这次成功对于人类观测有着重要意义。

     

     

    3.推导拉格朗日点

    注:以下内容为推导公式的全过程,由于码字的限制,所以式子有点难看,如果真的想了解全过程,建议将公式写在纸上。

     

     

    拉格朗日点共有五个,这里只推导上图中的L1点,也是相对最简单的点

    拉格朗日点

    将图示三个物体简化为三体问题,(别问我为什么是椭圆,找不到图,把它当成质点看就行了)其中中心天体蓝星质量设为M1,绿色的二号天体质量设为M2,卫星的质量为m,蓝绿之间的距离为R,则如下图

    拉格朗日点

    我们接着设m与M2间的距离为x,则m与M1之间的距离为R-x,因此只要求出x的距离就可以知道拉格朗日点的位置。

    对m与M2进行分析即可列出以下式子

    m:m4π²(R-X)/T²=GM1m/(R-X)²-GM2m/x²

    M2:M2·4π²R/T²=GM1M2/R² GM2m/x²

    由于m的质量相对M1,M2可以忽略不计,因此为了方便计算,将m忽略不计,则得到以下式子

    m:m4π²(R-X)/T²=GM1m/(R-X)²-GM2m/x²

     

    M2:M2·4π²R/T²=GM1M2/R²

    我们接着化简式子得到

     

    m:①4π²(R-X)/T²=GM1/(R-X)²-GM2/x²

     

    M2:②4π²R/T²=GM1/R²

    将②式继续变式得到

    4π²/T=GM1/R³

     

    接着我们便可以将③带入①并化简

    得到④M1(R-x)/R³=M1/(R-x)²-M2/x²

     

    继续化简将两边同除去一个M1

    得到⑤(R-x)/R³=1/(R-x)²-M2/M1·x²

     

    将以上式子同左右同乘一个R²,

    得到⑥(R-x)/R=R²/(R-x)²-M2R²/M1x²

    这时就可以用估算公式计算了

    (1 x)²≈1 nx

    (看着不像是因为式子还要继续变式,但是我码不动字了,所以摆了,只详细列其中一个式子的变式过程)

    总之就是将R²/(R-x)²先变式为1/(1-x/R)²的形式,这样分母就可以用估算公式展开变成

    [1 (-x/R)]的负二次方

    则≈1 (-2)(-x/R)

    另一个式子R-x/R同理用估算公式展开。

    将两代数式带入原式

    接着将新式子化简(过程省略)即可得到我们最终的表达式。

    x³=M2·R³/3M1

    这个公式适用于在三体运动中L2位置天体的位置计算,M1,M2即为另外两天体的质量,R为距离

    如果带入地月的数据,就可以解出x值约为6.5万公里,在地月连线上约距离月球6.5万公里,距离地球23.5万公里的位置。

     

    4.总结

    以上为拉格朗日点的基本内容,我也是之前因为兴趣去了解的,今天看到有知识区就写了下来,全文都是我一个字一个字码下来的,没有任何一个字是复制的,本文就当做我在知识区的第一篇内容,下一篇我想试着介绍一下潮汐锁定,以地月为例子。

    四級術士
    打赏了1尤
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    四級術士
    龙年大吉
    看不懂 [s-7]
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    四級術士
    物理好好好 [s-12]
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    四級術士
    这是二次元吗? [s-1]
  • Elysia@無無無夢 毕竟是二次元的知识区,没点理工知识怎么去二次元
    拉黑 7个月前 手机端回复
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    四級術士
    摆摆摆
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